Arranjo e combinação - Como saber quando utilizar arranjo, combinação e permutação?

Nessa postagem você verá algumas dicas sobre arranjo, combinação e permutação, pois muitas pessoas tem dificuldades em diferenciar cada um desses temas e ao final deixaremos para vocês uma tabela para nunca mais se confundir e o vídeo abordando esse tema. Mas antes, só relembrando como fazer o fatorial de um número, exemplo:

$$3!= 3.2.1= 6$$

$$4!=4.3.2.1= 24$$

$$5!=5.4.3.2.1= 120$$

O fatorial de um número é produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a ele.

Utilizando Permutação

Para diferenciar se é arranjo permutação ou combinação vocês têm que fazer a seguinte pergunta:

O número de objetos é igual ao número de posições?

Se a resposta for sim, então você utiliza permutação, ou seja, $p=n!$, olha o seguinte exemplo:

Os resultados do último sorteio da Mega-Sena foram os números $04, 10, 26, 37, 47$ e $57$. De quantas maneiras distintas pode ter ocorrido essa sequência de resultados?

O número de objetos é igual ao número de posições? Sim, pois temos $6$ números e $6$ posições, ou seja, é uma permutação, logo vamos utilizar $p=n!$, o número de objetos é $6$, logo $p = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720$. Então as formas distintas que esse resultado pode ter sido sorteado foram $720$ maneiras.

Utilizando Arranjo ou Combinação

Agora fazendo a pergunta novamente:

O número de objetos é igual ao número de posições?
Se a resposta for não, então você faz a seguinte pergunta: a ordem importa? Se a resposta for sim, você utiliza arranjo, se a resposta for não, você utiliza combinação, veja os exemplos:

Exemplo 1) Em uma urna de sorteio de prêmios existem dez bolas enumeradas de $0$ a $9$. Determine o número de possibilidades existentes num sorteio cujo prêmio é formado por uma sequência de 6 algarismos.

Fazendo a pergunta:

O número de objetos é igual ao número de posições? 
Não, porque temos $10$ objetos e $6$ posições.

A segunda pergunta: a ordem importa? 
Sim, note que a sequência $1, 3, 5, 6, 7, 9$ é diferente da sequência $9, 7, 6, 5, 3, 1$. Logo vamos utilizar arranjo, ou seja:

$A_n,_p = \cfrac{n!}{(n-p)!}$

$N$ é o número de objetos, ou seja, $n=10$. E p o número de posições, ou seja, $p=6$. Então temos:

$A_{10},_6=\cfrac{10!}{(10-6)!}=\cfrac{10!}{4!}=\cfrac{10.9.8.7.6.5.(4!)}{4!}=10.9.8.7.6.5=151200$

possibilidades existentes.

Exemplo 2) Um pesquisador científico precisa escolher três cobaias, num grupo de oito cobaias. Determine o número de maneiras que ele pode realizar a escolha.

Fazendo a pergunta:

O número de objetos é igual ao número de posições?
Não, porque temos 8 cobaias e vamos escolher 3.

A segunda pergunta: a ordem importa?
Não, ordem não importa, note que se numerarmos as cobaias de $1$ a $8$. E escolhermos a cobaia $2$, $4$, e $5$ é a mesma coisa que escolher a cobaia $4,5$ e $2$. Logo é uma combinação onde o $n$ que é o número de elementos é $8$ e $p$ que é o número de elementos a serem escolhido é $3$.

$C_n,_p = \cfrac{n!}{(n-p)!p!}$,

como n=8 e p=3 temos:

$C_8,_3 = \cfrac{8!}{(8-3)!3!}=\cfrac{8.7.6.5!}{5!3.2.1}=\cfrac{8.7.6}{3.2.1}=\cfrac{336}{6}=56$

maneiras.

Agora a tabela para você não se confundir mais:

Se gostou desse post comenta aí em baixo e não deixe de se conferir o nosso vídeo abordando este mesmo tema, com uma explicação muito simples.